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Mit Finanzderivaten risikolose Gewinne erzielen

Experten fahnden nach Arbitragemöglichkeiten

FRANKFURT. Finanzderivate gelten als obskur, verwickelt und riskant. Und das nicht zu Unrecht, wie die aktuelle Krise der globalen Finanzmärkte zeigt. Um Finanzderivate richtig bewerten zu können, bedarf es ausgefeilter Methoden der Finanzmathematik. "Ausgelöst durch den explosionsartigen Anstieg des Derivatehandels hat sich die Mathematik zu einer Schlüsseltechnologie auf modernen Finanzmärkten entwickelt", urteilt Prof. Christoph Kühn von der Goethe-Universität, an der die Finanzmathematik derzeit stark ausgebaut wird. Am Frankfurter MathFinance Institute arbeiten Mathematiker und Wirtschaftswissenschaftler eng zusammen. Im Rahmen der zweiten Ausschreibungsrunde der Loewe-Initiative soll diese Kooperation im Schwerpunkt "Finanzmathematik und quantitative Finanzwirtschaft" weiter ausgebaut werden. In der aktuellen Ausgabe von "Forschung Frankfurt" stellt Prof. Christoph Kühn das mathematische Werkzeug vor, das Finanzakteuren beim Risikomanagement behilflich ist.

Bei Finanzderivaten handelt es sich um Wertpapiere, bei denen die Höhe der Auszahlung von dem Preisverlauf eines oder mehrerer Basiswertpapiere abhängt ("abgeleitet" ist). Basisgrößen können Aktien, Bonds, Währungen, Rohstoffpreise, Indizes oder andere Derivate sein. Typisches Beispiel für ein Derivat ist eine Kaufoption (Call-Option), die dem Halter das Recht verleiht, zu einem späteren Zeitpunkt eine Einheit des Basiswertpapiers zu einem heute festgelegten Preis (Strikepreis) zu kaufen. So kann eine Firma, deren Produktion stark von einem bestimmten Rohstoff wie Öl abhängig ist, unkalkulierbare Preisanstiege vermeiden, indem sie das Recht erwirbt, das Öl in sechs Monaten zu einem vorher vereinbarten Preis zu kaufen. Aber was ist ein fairer Preis? Da die Entwicklung des Ölpreises nicht genau vorhergesagt werden kann, müssen verschiedene Fälle und die Wahrscheinlichkeit ihres Eintreffens mathematisch durchgespielt werden. Dabei kommt es auch darauf an, die Derivate im Verhältnis zueinander richtig zu bewerten, damit kein Spielraum für Arbitrage entsteht.

Als Arbitrage bezeichnet man eine risikolose Gewinnmöglichkeit ohne Kapitalbindung. Ein Investor kann dabei durch geschicktes Kaufen und Verkaufen der am Markt verfügbaren Wertpapiere Gewinne erzielen. Oft lassen sich eindeutige Derivatpreise aus der Forderung ableiten, dass keine Spielräume für Arbitrage bleiben. Diese Minimalanforderung an ein sinnvolles ökonomischen Modell ist allerdings aufgrund der komplexen Verflechtungen nicht so leicht zu realisieren. Deshalb nutzen auch Arbitrageure, beispielsweise Hedgefonds-Manager, Modelle der Finanzmathematik, um Arbitragemöglichkeiten aufzuspüren und sie für sich zu nutzen. So wird mit aufwendigsten Computerprogrammen ständig danach gefahndet, ob alle Wertpapiere vom Markt "richtig" zueinander bewertet sind.

Als Geburtsstunde der modernen, auf anspruchsvollen wahrscheinlichkeitstheoretischen Modellen beruhenden Finanzmathematik wird das Jahr 1900 angesehen, in dem Louis Bachelier seine Dissertation an der Sorbonne einreichte. Bachelier, der gleichzeitig an der Pariser Börse tätig war, nutzte eine eindimensionale Brown\'sche Bewegung zur mathematischen Beschreibung von Aktienkursen. Die Methode ist das kontinuierliche Analogon zur "elementaren Irrfahrt" eines Betrunkenen, der mit jedem Schritt zufällig nach links oder rechts torkelt. Macht man die Zeitintervalle unendlich klein, so lassen sich damit die "ganz vielen, ganz kleinen" zufälligen Auf- und Abwärtsbewegungen von Aktienkursen modellieren.

Eines der erfolgreichsten Modelle, die auf dem Prinzip der Brown\'schen Bewegung beruhen, ist das 1997 mit dem Nobelpreis ausgezeichnete Black-Scholes-Modell. Neben einigen anderen vereinfachenden Annahmen ist das wesentliche Manko des Modells, dass es Sprünge des Aktienkurses, die das Risiko auf den Märkten erhöhen, nicht berücksichtigt. Allerdings gibt es Weiterentwicklungen des Modells, mit denen man auch den Fall modellieren kann, dass der Investor nicht in der Lage ist, auf einen Sprung des Kurses schnell genug zu reagieren. "Ein wichtiger Effekt auf den Märkten ist, dass das Hedgen von Optionen einen teils immensen Rückkoppelungseffekt auf den Aktienpreis ausübt", erklärt Kühn, "dieses Phänomen wird dadurch befördert, dass viele Optionen in deutlich größeren Volumina gehandelt werden als die zugrunde liegenden Aktien". Ein ähnliches Problem besteht darin, dass bei leichten Kursverlusten die Computerprogramme einiger Marktteilnehmer Verkaufsempfehlungen aussprechen, deren Befolgung zu weiteren Kursverlusten führt, was wiederum weitere Marktteilnehmer zum Verkauf verleitet.